Μακροπρόθεσμη σύγκλιση
Πώς ο μέσος όρος καταλήγει στο −2,70%, και γιατί αυτό παίρνει περισσότερο χρόνο από όσο υποδεικνύει η διαίσθηση.
Η μέση απώλεια ανά περιστροφή συγκλίνει στο −1/37 καθώς συσσωρεύονται οι περιστροφές, με εύρος που μικραίνει σαν 1/√N. Μετά από 1.000 περιστροφές στο κόκκινο, ο μέσος όρος βρίσκεται συνήθως εντός ±3% της αναμενόμενης τιμής του.
Νόμος των μεγάλων αριθμών
Ο κινούμενος μέσος όρος ανεξάρτητων στοιχημάτων τείνει στην αναμενόμενη τιμήμαθηματικάΑναμενόμενη τιμήΤο μέσο αποτέλεσμα ανά στοίχημα μακροπρόθεσμα. −1/37 του πονταρίσματος για κάθε στάνταρ στοίχημα της ευρωπαϊκής ρουλέτας.Όλο το λήμμα →. Μετά από N περιστροφές ίσων χρημάτων με μία μονάδαχρήματαΜονάδαΤο βασικό ποντάρισμα με το οποίο δουλεύει ένα σύστημα ή ένας παίκτης. Τα προοδευτικά συστήματα περιγράφονται σε μονάδες, ώστε να ισχύουν σε οποιοδήποτε τραπέζι.Όλο το λήμμα →, το μέσο αποτέλεσμα ανά περιστροφή έχει προσδοκία −1/37 και τυπική απόκλισημαθηματικάΤυπική απόκλισηΗ τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης· η τυπική απόσταση ενός αποτελέσματος από την αναμενόμενη τιμή.Όλο το λήμμα → 1/√N. Στο N = 100 αυτό το εύρος είναι 10% του πονταρίσματος, σχεδόν τέσσερις φορές το σήμα του 2,7%. Στο N = 1.000 είναι 3,2%, περίπου όσο το σήμα. Στο N = 10.000 είναι 1%, και το πλεονέκτημα φαίνεται καθαρά. Το πλεονέκτημα είναι αόρατο σε μια συνεδρία και αναμφισβήτητο σε έναν χρόνο.
Τι συγκλίνει και τι όχι
Ο μέσος όρος ανά περιστροφή συγκλίνει. Το σύνολο όχι: απομακρύνεται όλο και περισσότερο από το μηδέν καθώς αυξάνεται το N, κατά περίπου 2,7% του N κατά μέσο όρο, με εύρος √N γύρω από αυτό. Ένας παίκτης που έχει παίξει 10.000 περιστροφές με $10 αναμένεται να είναι κάτω κατά $2.700, με απόκλιση περίπου $1.000 προς κάθε κατεύθυνση. Η τρέχουσα αναλογία των κόκκινωνστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → έχει προ πολλού σταθεροποιηθεί κοντά στο 48,65%· το τρέχον υπόλοιπο δεν έχει σταθεροποιηθεί πουθενά.
- p10 −$440
- p25 −$280
- διάμεσος −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Γιατί η διαίσθηση αποτυγχάνει
Οι άνθρωποι περιμένουν το πλεονέκτημα να φανεί γρήγορα επειδή το 2,70% ακούγεται πολύ, και περιμένουν τα μεγάλα σερί να «εξισορροπηθούν» επειδή ο νόμος των μεγάλων αριθμώνμαθηματικάΝόμος των μεγάλων αριθμώνΟ μέσος όρος ανεξάρτητων αποτελεσμάτων συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή καθώς αυξάνεται ο αριθμός των δοκιμών.Όλο το λήμμα → λέει ότι οι μέσοι όροι συγκλίνουν. Και οι δύο διαισθήσεις κρίνουν λάθος την κλίμακα: το πλεονέκτημα είναι μικρό σε σχέση με τη διακύμανσημαθηματικάΔιακύμανσηΜέτρο του πόσο πλατιά απλώνονται τα αποτελέσματα γύρω από την αναμενόμενη τιμή. Υψηλή για το straight up, χαμηλή για τα στοιχήματα ίσων χρημάτων.Όλο το λήμμα → μιας μεμονωμένης περιστροφής (σ = 1 μονάδα απέναντι σε EV = 0,027), άρα χρειάζονται (1/0,027)² ≈ 1.400 περιστροφές για να γίνει ορατό στο ένα σίγμα. Και η σύγκλιση του μέσου όρου δεν κάνει τίποτα για να επαναφέρει το σύνολο· απλώς αραιώνει τις παλιές διακυμάνσεις.
Σύγκλιση για άλλα στοιχήματα
Για τα straight upστοίχημαStraight upΈνας μόνο αριθμός (πλεν), πληρώνει 35:1.Όλο το λήμμα → σ = 5,84, άρα ο ίδιος υπολογισμός δίνει (5,84/0,027)² ≈ 47.000 περιστροφές για να φτάσει το πλεονέκτημα στο ένα σίγμα. Ένας παίκτης straight up μπορεί να παίζει για χρόνια χωρίς το πλεονέκτημα να ξεχωρίζει από την τύχη στα δικά του αρχεία, ενώ πληρώνει ακριβώς το ίδιο 2,70% με τον παίκτη του κόκκινου που το βλέπει μέσα σε εβδομάδες.
Συνέπεια για τον έλεγχο συστημάτων
Όποιος ισχυρίζεται ότι ένα σύστημα λειτουργεί θα έπρεπε να μπορεί να το δείξει σε 10.000 ή περισσότερες περιστροφές με τεκμηριωμένο θετικό μέσο όρο. Στις 1.000 περιστροφές ένας θετικός μέσος όρος σε ίσα χρήματα είναι γεγονός ένα στα πέντε υπό τη μηδενική υπόθεση· στις 100 περιστροφές είναι σχεδόν ρίψη νομίσματος. Οι προσομοιωτές αυτού του ιστότοπου τρέχουν 2.000 συνεδρίες της διάρκειας που επιλέγετε μέσα σε ένα δευτερόλεπτο, που είναι περισσότερη απόδειξη από οποιαδήποτε μαρτυρία.
Τύπος
Ερωτήσεις
Η πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → να βρεθείτε ξανά ποτέ μπροστά πέφτει προς το μηδέν όσο παίζετε. Το σύνολο μετακινείται προς τα κάτω χωρίς όριο.
Όχι. Σημαίνει ότι οι παλιές διακυμάνσεις γίνονται μικρότερο κλάσμα ενός μεγαλύτερου δείγματος.
Για ίσα χρήματα, περίπου 10.000 μέχρι να φανεί καθαρά το πλεονέκτημα. Για straight up, περίπου 50.000.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Δύο φίλοι παίζουν 20 γύρους ενός δίκαιου παιχνιδιούμαθηματικάΔίκαιο παιχνίδιΠαιχνίδι στο οποίο καμία πλευρά δεν έχει πλεονέκτημα: κάθε στοίχημα έχει αναμενόμενη τιμή μηδέν.Όλο το λήμμα →, κορόνα-γράμματα ή κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → έναντι μαύρουστοίχημαΜαύροΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 μαύρους αριθμούς. Γαλλικά: noir.Όλο το λήμμα → με επιστροφή στα μηδενικάτροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα →, και κρατούν τρέχον σκορ. Μετρήστε τους γύρους κατά τους οποίους καθένας προηγείται (η ισοπαλία μετράει για όποιον προηγούνταν αμέσως πριν). Τι είναι πιθανότερο: να μοιραστεί το προβάδισμα 10 γύροι προς 10, ή να προηγείται ένας φίλος και στους 20;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Το να προηγείται ένας φίλος και στους 20 γύρους είναι πολύ πιθανότερο: 35,2%, μετρώντας όποιον από τους δύο, έναντι 6,1% για ισόπαλο 10 προς 10.
Η πιθανότητα ένα δίκαιο τρέχον σκορ να είναι ισόπαλο μετά από 2k γύρους είναι u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 μετά από 10 γύρους και 0,176 μετά από 20. Ένα κλασικό αποτέλεσμα, ο νόμος του τόξου ημιτόνου, λέει ότι η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος φίλος να προηγείται σε ακριβώς 2k από τους 2n γύρους είναι u(2k) × u(2n − 2k).
Προβάδισμα και στους 20: u(20) × u(0) = 0,176 για κάθε φίλο, 35,2% για όποιον από τους δύο. Ίσο μοίρασμα: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, το λιγότερο πιθανό μοίρασμα από όλα.
Άρα σε ένα δίκαιο παιχνίδι το προβάδισμα σπάνια αλλάζει χέρια. Ένας παίκτης που ήταν μπροστά όλη τη βραδιά, ή πίσω όλη τη βραδιά, δεν έχει δει τίποτα ασυνήθιστο, και αυτό δεν λέει τίποτα για τον τροχό ή για την ικανότητα. Ο Έπσταϊν (Epstein, 2013) δίνει τον ίδιο νόμο για μεγαλύτερα παιχνίδια: τις μισές φορές η τυχερότερη πλευρά προηγείται για περισσότερο από το 85% του παιχνιδιού.
Κωμικό διάλειμμα
Ο μέσος όρος συγκλίνει. Το σύνολο απλώς φεύγει.
Πηγές
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.