Επιβράδυνση
Το μόνο μέρος της περιστροφής που είναι πραγματικά προβλέψιμο.
Η επιβράδυνση της μπίλιας στην τροχιά ακολουθεί μια ομαλή καμπύλη που ορίζεται από την τριβή και την αντίσταση. Από λίγους χρόνους στροφής μπορείτε να εκτιμήσετε τον χρόνο πτώσης με ακρίβεια κλάσματος του δευτερολέπτου. Ο διασκορπισμός που ακολουθεί αναιρεί το μεγαλύτερο μέρος αυτής της ακρίβειας.
Το μοντέλο
Θεωρήστε ότι η μπίλιαεξοπλισμόςΜπίλιαΗ μικρή σφαίρα που εκτοξεύεται στην τροχιά αντίθετα από τον ρότορα. Οι σύγχρονες μπίλιες είναι από ιβορίνη ή τεφλόν, 18–21 χλστ.Όλο το λήμμα → επιβραδύνεται υπό έναν σταθερό όρο a (τριβή κύλισης) και έναν όρο ανάλογο της ταχύτητας b·v (αντίσταση του αέρα και απώλειες που εξαρτώνται από την ταχύτητα): dv/dt = −(a + bv). Η λύση είναι μια εκθετική προσέγγιση προς την κρίσιμη ταχύτητα πτώσης. Ο χρόνος γύρου T = 2πr/v αυξάνεται λοιπόν σε κάθε γύρο κατά ολοένα μεγαλύτερο ποσό. Προσαρμόστε τα a και b από τους πρώτους γύρους και οι υπόλοιποι γύροι, και ο χρόνος πτώσης, προκύπτουν. Τίποτα εδώ δεν είναι εξωτικό· είναι μηχανική πρώτου έτους εφαρμοσμένη σε μια μπίλια πάνω σε τροχιά.
Τι προσφέρει η εκτίμηση
Ένας χρόνος πτώσης με ακρίβεια 0,2 δευτερολέπτων, σε συνδυασμό με ταχύτητα ρότοραεξοπλισμόςΡότοραςΤο περιστρεφόμενο μέρος του τροχού που φέρει τις θήκες.Όλο το λήμμα → 15 θηκώνεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα → ανά δευτερόλεπτο, εντοπίζει τη θήκη κάτω από το σημείο πτώσης με ακρίβεια περίπου τριών θηκών. Αυτά είναι τα καλά νέα για έναν προβλέπτη. Τα κακά νέα είναι ότι η μπίλια διασχίζει στη συνέχεια την κεκλιμένη ζώνηεξοπλισμόςΚεκλιμένη ζώνηΗ επικλινής περιοχή ανάμεσα στην τροχιά της μπίλιας και στις θήκες, όπου βρίσκονται οι εκτροπείς. Αγγλικά: apron.Όλο το λήμμα →, χτυπά έναν εκτροπέαεξοπλισμόςΕκτροπέαςΈνα από τα μεταλλικά εμπόδια στην κεκλιμένη ζώνη που σκορπίζουν την μπίλια καθώς πέφτει. Επίσης: κανό, διαμάντι, πείρος.Όλο το λήμμα → και αναπηδά στα διαχωριστικάεξοπλισμόςΔιαχωριστικόΤο μεταλλικό χώρισμα ανάμεσα σε δύο θήκες του τροχού.Όλο το λήμμα →, και η τελική θήκη απλώνεται σε μια κατανομή πλάτους 20 έως 30 θηκών. Η ακρίβεια της φάσης της τροχιάς καταναλώνεται σε μεγάλο βαθμό από τον διασκορπισμό της φάσης πτώσης.
Τι απομένει
Αν η κατανομή του διασκορπισμού έχει κορυφή, ώστε η μπίλια να καταλήγει κοντά στη θήκη πτώσης συχνότερα απ' ό,τι τυχαία, τότε ένα στοίχημα σε έναν τομέατροχόςΤομέαςΈνα συνεχόμενο τόξο θηκών στον τροχό, σε αντιδιαστολή με μια ομάδα στο ταμπλό.Όλο το λήμμα → γύρω από την προβλεπόμενη θήκη δίνει ένα μικρό πλεονέκτημα. Οι Σμολ και Τσε (Small, Tse, 2012) το μέτρησαν στο εργαστήριο με κάμερα και βρήκαν ποσοστά επιτυχίας του προβλεπόμενου τομέα αρκετά υψηλά ώστε το πλεονέκτημα του καζίνομαθηματικάΠλεονέκτημα του καζίνοΤο μερίδιο κάθε πονταρίσματος που κρατά το καζίνο κατά μέσο όρο: 2,70% στην ευρωπαϊκή ρουλέτα.Όλο το λήμμα → να γίνει θετικό για τον παίκτη κατά λίγα τοις εκατό. Οι συνθήκες τους, πλήρης εναέρια θέα, γνωστός τροχός, στοιχήματα μετά την εκτόξευση της μπίλιας, δεν υπάρχουν σε ένα live τραπέζι.
Τι αλλάζει από ώρα σε ώρα
Οι δύο σταθερές δεν είναι αμετάβλητες για έναν τροχό. Οι Eudaemons, που τη δεκαετία του 1970 χρονομετρούσαν επί χρόνια έναν τροχό καζίνο, διαπίστωσαν ότι ο αέρας προκαλεί το μεγαλύτερο μέρος της επιβράδυνσης, περισσότερο από την τροχιά, και ότι η μπίλια έχει σημασία: μια μπίλια από τεφλόν έχανε ταχύτητα δύο φορές πιο γρήγορα από μια μπίλια από το σύνθετο υλικό των μπαλών του μπιλιάρδου. Είδαν επίσης τις προβλέψεις τους να μετατοπίζονται κατά 5 έως 10% την ώρα όταν άνοιγε μια πόρτα ή άλλαζε ο καιρός, επειδή ο υγρός ή βαρύς αέρας επιβραδύνει την μπίλια νωρίτερα. Το πρόγραμμά τους είχε γι’ αυτό χωριστές ρυθμίσεις για τον ρυθμό επιβράδυνσης της μπίλιας και για την ταχύτητα με την οποία φεύγει από την τροχιά, και ο παίκτης όριζε ξανά και τις δύο σε κάθε τραπέζι και κάθε φορά που οι προβλέψεις άρχιζαν να ξεφεύγουν.
Γιατί το εξηγεί το Εργαστήριο
Όχι για να μπορεί κάποιος να το κάνει. Για να δείξει από τι αποτελείται πραγματικά η τυχαιότητα του παιχνιδιού: μια ντετερμινιστική φάση, που τα καζίνο την προστατεύουν με νωρίτερο κλείσιμο στοιχημάτων και ελάχιστες στροφές, και μια χαοτική φάση, που την προστατεύουν με εκτροπείς και χαμηλά διαχωριστικά. Ένας παίκτης που το καταλαβαίνει αυτό καταλαβαίνει γιατί το 2,70% είναι ασφαλές.
Κάντε μόνοι σας την αριθμητική
Χρονομετρήστε τη μπίλια καθώς περνά από έναν εκτροπέα, σε οποιαδήποτε μετάδοση, για τρεις γύρους και κάντε παρέκταση· τις περισσότερες φορές θα είστε μέσα σε έναν γύρο από την πτώση, που είναι η ντετερμινιστική φάση να λειτουργεί όπως περιγράφεται. Έπειτα παρακολουθήστε πού προσγειώνεται πραγματικά η μπίλια σε σχέση με τη θήκη κάτω από το σημείο πτώσης και κρατήστε καταμέτρηση για πενήντα περιστροφές. Η καταμέτρηση είναι μια κατανομή διασκορπισμού και το πλάτος της είναι η απάντηση στο «γιατί δεν μπορεί να νικηθεί;».
Τύπος
Ερωτήσεις
Όχι. Η τριβή αλλάζει με τη σκόνη, την υγρασία και τη φθορά. Οι προβλέπτες επαναπροσαρμόζονται σε κάθε περιστροφή.
Τρεις δίνουν μια πρόχειρη εκτίμηση· πέντε ή έξι μια καλή. Το ελάχιστο των τεσσάρων στα στούντιο αφήνει λίγο χρόνο για πόνταρισμα και τα στοιχήματα κλείνουν έτσι κι αλλιώς.
Λίγοι, για λίγο, με συσκευές, πριν προσαρμοστούν τα καζίνο και ακολουθήσουν οι νόμοι. Δείτε το παιχνίδι με πλεονέκτημα.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Στο ενδεικτικό μοντέλο του Θορπ (Thorp) για μια μπίλιαεξοπλισμόςΜπίλιαΗ μικρή σφαίρα που εκτοξεύεται στην τροχιά αντίθετα από τον ρότορα. Οι σύγχρονες μπίλιες είναι από ιβορίνη ή τεφλόν, 18–21 χλστ.Όλο το λήμμα → που επιβραδύνεται, αν ένας γύρος στην τροχιά διαρκεί T δευτερόλεπτα, στη μπίλια απομένουν 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 γύροι πριν φύγει από την τροχιά. Πόσοι απομένουν μετά από έναν γύρο μισού δευτερολέπτου, και μετά από έναν γύρο ενός ολόκληρου δευτερολέπτου; Πόσο μετακινεί την πρόβλεψη ένα λάθος χρονομέτρησης 0,012 δευτερολέπτων στο T = 0,8;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Περίπου 9,5 γύροι μετά από γύρο μισού δευτερολέπτου και 2,85 μετά από γύρο ενός δευτερολέπτου. Το λάθος μετακινεί την πρόβλεψη κατά περίπου 0,12 του γύρου, σχεδόν 4½ θήκεςεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα →.
T = 0,5: 3T/20 = 0,075 και e^0,075 ≈ 1,0779, άρα 1/0,0779 ≈ 12,84, και 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 γύροι. T = 1: e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18, και 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Ένας γρήγορος γύρος σημαίνει πολλούς γύρους ακόμη, και ένας γύρος δύο φορές πιο αργός αφήνει λιγότερους από το ένα τρίτο.
Στο T = 0,8 ο τύπος δίνει 4,51 γύρους· στο T = 0,812 δίνει 4,39. Ένα λάθος 12 χιλιοστών του δευτερολέπτου, περίπου όσο χρειάζεται η μπίλια για να κυλήσει κατά το πλάτος της, μετακινεί την πρόβλεψη κατά 0,12 του γύρου: σχεδόν 4½ θήκες σε τροχό 37 θηκών. Αυτό το ένα λάθος είναι το μεγαλύτερο μέρος των 5,5 θηκών που επιτρέπει ο λογαριασμός σφαλμάτων του Θορπ για τη χρονομέτρηση της μπίλιας (δείτε Παιχνίδι με πλεονέκτημα), και γι' αυτό το ρολόι, όχι η αριθμητική, βάζει το όριο σε όποιον κάνει πρόβλεψη.
Κωμικό διάλειμμα
Προβλέψιμη μέχρι την πτώση. Έπειτα οι εκτροπείς.
Πηγές
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”