Κίνδυνος χρεοκοπίας

Το ερώτημα

Έχετε a μονάδεςχρήματαΜονάδαΤο βασικό ποντάρισμα με το οποίο δουλεύει ένα σύστημα ή ένας παίκτης. Τα προοδευτικά συστήματα περιγράφονται σε μονάδες, ώστε να ισχύουν σε οποιοδήποτε τραπέζι.Όλο το λήμμα → κεφαλαίουχρήματαΚεφάλαιοΤο συνολικό ποσό που έχει διατεθεί για το παιχνίδι (bankroll). Διαχείριση κεφαλαίου είναι η απόφαση για το πόσο από αυτό θα ρισκάρετε ανά στοίχημα και ανά συνεδρία.Όλο το λήμμα → (bankroll) και θέλετε να φτάσετε τις a + b μονάδες, ποντάροντας μία μονάδα κάθε φορά σε ένα στοίχημα ίσων χρημάτωνστοίχημαΣτοίχημα ίσων χρημάτωνΚόκκινο/μαύρο, μονά/ζυγά, μεγάλα/μικρά. 18 αριθμοί, πληρώνει 1:1.Όλο το λήμμα → με πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → νίκης p = 18/37 και πιθανότητα απώλειας q = 19/37. Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσετε τον στόχο πριν φτάσετε στο μηδέν; Η απάντηση βρέθηκε από τους Πασκάλ (Pascal), Φερμά (Fermat) και Χόιχενς (Huygens) τη δεκαετία του 1650 και είναι ένα από τα παλαιότερα αποτελέσματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μπλεζ Πασκάλ

Ο τύπος της χρεοκοπίας του παίκτη

P(φτάνετε τον στόχο) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ο κίνδυνος χρεοκοπίαςμαθηματικάΚίνδυνος χρεοκοπίαςΗ πιθανότητα να χαθεί ολόκληρο το κεφάλαιο πριν επιτευχθεί ένας στόχος ή ένας αριθμός περιστροφών.Όλο το λήμμα → είναι ένα μείον αυτό. Με q/p = 19/18 ≈ 1,0556, ο λόγος αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των μονάδων, άρα ο τύπος τιμωρεί αυστηρά τις μικρές μονάδες: όσο περισσότερα στοιχήματα χρειάζονται για να φτάσετε τον στόχο, τόσο περισσότερες φορές πληρώνεται στο δρόμο το διόδιο του 2,70%.

Πώς να το διαβάσετε

Οι μικρότερες μονάδες βλάπτουν. Αν προσπαθήσετε να διπλασιάσετε $500 με στοιχήματα $10, πετυχαίνετε στο 6% των περιπτώσεων· με ένα μόνο στοίχημα $500, πετυχαίνετε στο 48,6% των περιπτώσεων. Το τολμηρό παιχνίδι, λιγότερα και μεγαλύτερα στοιχήματα, μεγιστοποιεί την πιθανότητα να φτάσετε έναν στόχο σε παιχνίδι αρνητικής αναμενόμενης τιμής, επειδή ελαχιστοποιεί τον αριθμό των φορών που εφαρμόζεται το πλεονέκτημα. Μεγιστοποιεί επίσης τη διακύμανσημαθηματικάΔιακύμανσηΜέτρο του πόσο πλατιά απλώνονται τα αποτελέσματα γύρω από την αναμενόμενη τιμή. Υψηλή για το straight up, χαμηλή για τα στοιχήματα ίσων χρημάτων.Όλο το λήμμα → αυτού που σας συμβαίνει, και τελειώνει τη βραδιά γρήγορα. Το θεώρημα λέγεται «το τολμηρό παιχνίδι είναι βέλτιστο» και αποδείχθηκε από τους Ντούμπινς (Dubins) και Σάβιτζ (Savage) το 1965.

Πού ξεκίνησε το πρόβλημα

Το ερώτημα είναι παλαιότερο από τη ρουλέτα. Το 1656 ο Πασκάλ έθεσε στον Φερμά ένα πρόβλημα: δύο παίκτες ρίχνουν τρία ζάρια και ο καθένας ξεκινά με 12 πούλια· μια ζαριά 11 μετακινεί ένα πούλι προς τη μία πλευρά, μια ζαριά 14 προς την άλλη. Το έλυσαν και οι δύο, και ο Χόιχενς, που το έμαθε από ένα γράμμα του μαθηματικού Πιερ ντε Καρκαβί (Pierre de Carcavi), το δημοσίευσε το 1657 ως πέμπτο πρόβλημα του πρώτου βιβλίου για τις πιθανότητες, με την απάντηση και χωρίς απόδειξη. Το έντεκα φέρνεται με 27 τρόπους και το δεκατέσσερα μόνο με 15, οπότε κάθε πούλι μετακινείται προς τον πρώτο παίκτη 9 φορές στις 14, και ο παραπάνω τύπος, με 12 πούλια ο καθένας, τον κάνει περίπου 1.157 φορές πιθανότερο να τα κερδίσει όλα παρά να τα χάσει όλα. Ένα πλεονέκτημα 2,70% είναι πολύ μικρότερο, αλλά ο ίδιος τύπος δείχνει τι κάνει σε πολλά στοιχήματα.

Ένα πραγματικό τολμηρό στοίχημα

Τον Απρίλιο του 2004 ο Άσλεϊ Ρέβελ (Ashley Revell), ένας νεαρός Άγγλος, πούλησε σχεδόν ό,τι είχε, ακόμη και τα ρούχα του, και πήγε $135.300 στο Plaza του Λας Βέγκας. Μετά από μερικά μικρά στοιχήματα πόνταρε ολόκληρο το ποσό στο κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα →, μία φορά. Η μπίλιαεξοπλισμόςΜπίλιαΗ μικρή σφαίρα που εκτοξεύεται στην τροχιά αντίθετα από τον ρότορα. Οι σύγχρονες μπίλιες είναι από ιβορίνη ή τεφλόν, 18–21 χλστ.Όλο το λήμμα → σταμάτησε στο κόκκινο 7 και έφυγε με $270.600. Σε τροχό με διπλό μηδέντροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα → εκείνη η μία περιστροφή είχε πιθανότητα 47,37% και του κόστισε κατά μέσο όρο $7.121, το πλεονέκτημα 5,26% σε ένα στοίχημα. Μοιρασμένος σε στοιχήματα $10, ο ίδιος στόχος θα ήταν σχεδόν απελπιστικός. Το τολμηρό παιχνίδι δεν κάνει το στοίχημα καλό· το κάνει όσο πιο σύντομο γίνεται.

Κίνδυνος χρεοκοπίας χωρίς στόχο

Αν απλώς παίζετε μέχρι να χρεοκοπήσετε ή σταματάτε μετά από N περιστροφές, το ερώτημα γίνεται «ποια είναι η πιθανότητα το κεφάλαιό μου να αγγίξει το μηδέν μέσα σε N περιστροφές;». Δεν υπάρχει κλειστός τύπος για γενικό N, αλλά οι προσομοιωτές αυτού του ιστότοπου το υπολογίζουν: ένα κεφάλαιο $500 με $10 στο κόκκινο σχεδόν ποτέ δεν χρεοκοπεί σε 100 περιστροφές (κάτω από 1%), χρεοκοπεί περίπου στο 9% των περιπτώσεων σε 500 περιστροφές, και περίπου στο 95% σε 5.000. Χωρίς κανόνα διακοπής η πιθανότητα τείνει στο 100%, που είναι η μακροπρόθεσμη εκδοχή του πλεονεκτήματος του καζίνομαθηματικάΠλεονέκτημα του καζίνοΤο μερίδιο κάθε πονταρίσματος που κρατά το καζίνο κατά μέσο όρο: 2,70% στην ευρωπαϊκή ρουλέτα.Όλο το λήμμα →.

Μακροπρόθεσμη σύγκλιση

Πόσο διαρκεί και πόσο μπορείτε να βρεθείτε σε κέρδος

Δύο ακόμη κλασικά αποτελέσματα απαντούν σε ερωτήματα που κάνουν πραγματικά οι παίκτες. Χωρίς στόχο, σταθερά στοιχήματα ίσων χρημάτων διαρκούν κατά μέσο όρο 37 περιστροφές για κάθε μονάδα κεφαλαίου σε ευρωπαϊκό τροχό και 19 σε αμερικανικό, επειδή κάθε περιστροφή παίρνει κατά μέσο όρο 1/37 της μονάδας (1/19 σε αμερικανικό τροχό): 100 μονάδες διαρκούν κατά μέσο όρο 3.700 περιστροφές, αν και οι μισές τέτοιες συνεδρίες τελειώνουν μέσα σε 3.134 (δείτε Διάρκεια και κόστος συνεδρίας). Και όσο μεγάλο κι αν είναι το κεφάλαιο, η πιθανότητα σε ευρωπαϊκό τροχό να βρεθείτε κάποια στιγμή k μονάδες σε κέρδος είναι (18/19)ᵏ. Αυτό σημαίνει 95% για μία μονάδα και 58% για δέκα, αλλά κανένα κεφάλαιο, όσο βαθύ κι αν είναι, δεν δίνει ίση πιθανότητα να βρεθείτε ποτέ 13 μονάδες σε κέρδος· σε αμερικανικό τροχό η πιθανότητα είναι (9/10)ᵏ και πέφτει κάτω από το μισό στις 7 μονάδες.

Διάρκεια και κόστος συνεδρίαςΑμερικανική ρουλέτα

Κεφάλαιο για ίση πιθανότητα

Αντιστρέψτε το ερώτημα: πόσα πρέπει να φέρετε για να έχετε τουλάχιστον ίση πιθανότητα να κερδίσετε ένα δεδομένο ποσό πριν τα χάσετε όλα; Για μικρό κέρδος, όχι πολλά. Για μεγαλύτερο, το απαιτούμενο κεφάλαιο ανεβαίνει απότομα, και πέρα από ένα σημείο κανένα κεφάλαιο δεν αρκεί, επειδή ακόμη και ένα ατελείωτο κεφάλαιο δίνει λιγότερο από ίση πιθανότητα να βρεθείτε ποτέ τόσο μπροστά. Ο Τέιλορ (Taylor, 2021) το λέει αλλιώς: σε αμερικανικό τροχό, για να έχετε ίση πιθανότητα να φτάσετε τις 100 μονάδες πρέπει να ξεκινήσετε με 94, ρισκάροντας 94 για να κερδίσετε 6. Σε ευρωπαϊκό τροχό θα χρειαζόσασταν 88.

Το πρακτικό δίδαγμα

Αποφασίστε τι προσπαθείτε να κάνετε. Αν ο στόχος είναι ένα συγκεκριμένο κέρδος, ποντάρετε μεγάλα και λίγα. Αν ο στόχος είναι μια μεγάλη βραδιά, ποντάρετε μικρά και αποδεχτείτε ότι το πλεονέκτημα θα πάρει το 2,70% ενός μεγάλου τζίρουχρήματαΤζίροςΤο συνολικό ποσό που ποντάρεται σε μια συνεδρία ή μια περίοδο, μαζί με τα κέρδη που ποντάρονται ξανά. Αγγλικά: turnover, επίσης handle, action.Όλο το λήμμα →. Αν ο στόχος είναι και τα δύο, κάτι πρέπει να υποχωρήσει, και συνήθως είναι ο στόχος.

Τύπος

Ερωτήσεις