Πιθανότητα των σερί
Τα μεγάλα σερί ενός χρώματος είναι συνηθισμένα. Είναι επίσης χωρίς καμία σημασία για την επόμενη περιστροφή.
Πέντε κόκκινα στη σειρά: 2,7%. Δέκα: 0,074%. Σε μια συνεδρία 200 περιστροφών ένα σερί έξι ίδιου χρώματος εμφανίζεται συχνότερα απ’ ό,τι όχι.
Πόσο συχνά έρχεται ένα σερί απωλειών
Ένα στοίχημα ίσων χρημάτων σε τροχό με ένα μηδέν χάνει σε 19 περιστροφές στις 37. Κάθε γραμμή δείχνει την πιθανότητα να χαθούν όλες οι περιστροφές μιας τέτοιας σειράς, και πόσα έχει χάσει ως τότε ένας παίκτης του Martingale, που διπλασιάζει το ποντάρισμα μετά από κάθε απώλεια.
| απώλειες στη σειρά | πιθανότητα | περίπου 1 στα | χαμένα ως τώρα | επόμενο ποντάρισμα |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Η πιθανότητα είναι το 19/37 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του μία φορά για κάθε απώλεια, μετρώντας από μία συγκεκριμένη περιστροφή. Μια μεγάλη συνεδρία έχει πολλές περιστροφές από τις οποίες μπορεί να ξεκινήσει ένα τέτοιο σερί, άρα μέσα σε μια βραδιά είναι πολύ πιθανότερο απ’ ό,τι δείχνει μία γραμμή.
Ένα μεμονωμένο σερί
Η πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → να είναι όλες οι επόμενες k περιστροφές κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → είναι (18/37)ᵏ. Δύο: 23,7%. Πέντε: 2,7%. Δέκα: 0,074%, περίπου 1 στα 1.350. Είκοσι: 1 στα 1,8 εκατομμύρια. Είκοσι έξι, το ρεκόρ του Μόντε Κάρλο: 1 στα 137 εκατομμύρια. Αυτές είναι οι πιθανότητες ενός συγκεκριμένου σερί που ξεκινά σε μια συγκεκριμένη περιστροφή, που είναι η ερώτηση που σχεδόν κανείς δεν κάνει στην πραγματικότητα.
Σε μια συνεδρία
Η ερώτηση που εννοούν οι άνθρωποι είναι «θα εμφανιστεί κάπου στη συνεδρία μου σερί k;», και η απάντηση είναι πολύ μεγαλύτερη από το (18/37)ᵏ, επειδή μια συνεδρία 200 περιστροφών προσφέρει σχεδόν 200 σημεία εκκίνησης. Ένα σερί έξι ή περισσότερων του ίδιου χρώματος, κόκκινου ή μαύρουστοίχημαΜαύροΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 μαύρους αριθμούς. Γαλλικά: noir.Όλο το λήμμα →, εμφανίζεται σε συνεδρία 200 περιστροφών περίπου στο 94% των περιπτώσεων· οκτώ ή περισσότερων περίπου στο 47%· δέκα ή περισσότερων περίπου στο 14%. Αν ορίσετε το χρώμα από πριν, οι πιθανότητες πέφτουν, σε περίπου 75%, 27% και 7%. Ένας παίκτης που κάθεται μια ολόκληρη βραδιά θα δει μεγάλα σερί κάθε βράδυ.
Γιατί ενδιαφέρει το Martingale
Κάθε αρνητικό προοδευτικό σύστημαστρατηγικήΠροοδευτικό σύστημαΚάθε κανόνας που αλλάζει το ποντάρισμα με βάση τα προηγούμενα αποτελέσματα. Τα αρνητικά προοδευτικά συστήματα το ανεβάζουν μετά από απώλειες, τα θετικά μετά από κέρδη.Όλο το λήμμα → έχει ένα μήκος σερί που το σπάει: έξι απώλειες από βάση $10 με όριο $500, δέκα για το FibonacciστρατηγικήFibonacciΠροοδευτικό σύστημα που ακολουθεί την ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: ένα βήμα μπροστά μετά από απώλεια, δύο βήματα πίσω μετά από κέρδος.Όλο το λήμμα →, πέντε για τριπλασιασμό στις δωδεκάδεςστοίχημαΔωδεκάδα1–12, 13–24 ή 25–36, πληρώνει 2:1.Όλο το λήμμα →. Η πιθανότητα σερί έξι απωλειών σε ίσα χρήματα είναι (19/37)⁶ ≈ 1,8% ανά προσπάθεια, και μια συνεδρία 200 περιστροφών περιέχει ίσως 100 προσπάθειες, άρα το σπάσιμο έρχεται σε περίπου τέσσερις στις πέντε συνεδρίες αυτής της διάρκειας. Οι πιθανότητες των σερί είναι ο λόγος που ο γκρεμός δεν είναι σπάνιος.
Ζεστοί και κρύοι αριθμοί
Η ίδια αριθμητική ισχύει για τα straight upστοίχημαStraight upΈνας μόνο αριθμός (πλεν), πληρώνει 35:1.Όλο το λήμμα →. Σε 300 περιστροφές ο αναμενόμενος αριθμός εμφανίσεων ανά αριθμό είναι 8,1· η τυπική απόκλισημαθηματικάΤυπική απόκλισηΗ τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης· η τυπική απόσταση ενός αποτελέσματος από την αναμενόμενη τιμή.Όλο το λήμμα → είναι περίπου 2,8. Κάποιος αριθμός θα δείξει 15 εμφανίσεις και κάποιος 2 μόνο από τύχη, κάθε φορά. Ένας πίνακας αποτελεσμάτων που επισημαίνει «ζεστούς» αριθμούς επισημαίνει την κορυφή μιας κανονικής κατανομής. Το Εργαστήριο εξηγεί πόσες περιστροφές χρειάζονται για να σημαίνει κάτι ένας ζεστός αριθμόςμύθοςΖεστός αριθμόςΑριθμός που έχει εμφανιστεί πρόσφατα συχνότερα από το αναμενόμενο. Σε αμερόληπτο τροχό δεν προβλέπει τίποτα.Όλο το λήμμα → (χιλιάδες, από έναν ταυτοποιημένο τροχό).
Η ανεξαρτησία είναι το κλειδί
Ένα σερί δέκα κόκκινων δεν κάνει το μαύρο πιθανότερο, ούτε το κόκκινο πιθανότερο. Και τα δύο είναι 18/37. Τα σερί είναι ιδιότητα των τυχαίων ακολουθιών και η απουσία τους θα ήταν ύποπτη: μια ακολουθία 200 περιστροφών χωρίς κανένα σερί μεγαλύτερο των τεσσάρων θα ήταν πολύ ισχυρότερη ένδειξη παρέμβασης από μια με σερί δώδεκα.
Τύπος
Ερωτήσεις
Τα 26 μαύρα στο Μόντε Κάρλο στις 18 αυγούστου 1913 είναι το διάσημο. Αναφέρθηκαν 32 κόκκινα στη σειρά σε αμερικανικό καζίνο το 1943. Και τα δύο συμβαδίζουν με την τύχη, δεδομένου πόσες περιστροφές τρέχουν τα καζίνο.
Είναι 18/37 και στις δύο περιπτώσεις. Ποντάρετε ό,τι λέει το σχέδιό σας, ή τίποτα.
Όχι. Η μεροληψία φαίνεται ως ορισμένες θήκεςεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα → που έρχονται συχνότερα σε χιλιάδες περιστροφές, όχι ως σερί ενός χρώματος.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Πόσες περιστροφές ενός ευρωπαϊκού τροχού χρειάζονται κατά μέσο όρο μέχρι να έχει βγει κάθε ένας από τους 37 αριθμούς τουλάχιστον μία φορά;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Περίπου 155 περιστροφές κατά μέσο όρο· η διάμεσος είναι 147.
Μετρήστε την αναμονή έναν νέο αριθμό κάθε φορά. Η πρώτη περιστροφή δείχνει πάντα νέο αριθμό. Αφού έχετε δει 1 αριθμό, 36 θήκεςεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα → στις 37 είναι νέες, οπότε ο επόμενος νέος αριθμός θέλει κατά μέσο όρο 37/36 περιστροφές. Αφού έχετε δει k αριθμούς, θέλει 37/(37 − k).
Προσθέστε τις αναμονές: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 περιστροφές.
Το μεγαλύτερο μέρος είναι στο τέλος. Ο τελευταίος αριθμός μόνος του θέλει κατά μέσο όρο 37 περιστροφές, και οι πέντε τελευταίοι περίπου 85. Σε αμερικανικό τροχό ο ίδιος υπολογισμός δίνει περίπου 161. Είναι το πρόβλημα του συλλέκτη κουπονιών· το Wizard of Odds δίνει τον ίδιο μέσο όρο.
Σε 37 περιστροφές ενός ευρωπαϊκού τροχού, μία για κάθε θήκη, πόσους διαφορετικούς αριθμούς να περιμένετε να δείτε;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Περίπου 23,6. Περίπου το ένα τρίτο των αριθμών, γύρω στους 13, δεν βγαίνει καθόλου.
Πάρτε έναν αριθμό, ας πούμε το 17. Σε κάθε περιστροφή δεν βγαίνει με πιθανότητα 36/37, οπότε χάνει και τις 37 περιστροφές με πιθανότητα (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Κάθε αριθμός έχει την ίδια πιθανότητα, οπότε κατά μέσο όρο 37 × 0,363 ≈ 13,4 αριθμοί λείπουν και 37 − 13,4 ≈ 23,6 βγαίνουν, πολλοί από αυτούς δύο ή περισσότερες φορές.
Οι παίκτες της ρουλέτας το λένε νόμο των τρίτων. Δεν είναι νόμος, μόνο η αριθμητική των επαναλήψεων: σε ένα σερί τόσο μακρύ όσο ο τροχός, περίπου το ένα τρίτο των αριθμών μένει απέξω, σε αμερόληπτο τροχό όπως και σε κάθε άλλον. Σε 38 θήκες το μερίδιο είναι επίσης (37/38)³⁸ ≈ 0,363· για μεγάλο τροχό σταθεροποιείται κοντά στο 1/e ≈ 0,368.
Ένας φίλος σας δείχνει δύο λίστες 50 χρωμάτων, κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → ή μαύροστοίχημαΜαύροΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 μαύρους αριθμούς. Γαλλικά: noir.Όλο το λήμμα →, που υποτίθεται ότι προέρχονται από έναν τροχό χωρίς τα μηδενικάτροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα →. Η μία αλλάζει χρώμα 25 φορές και το μεγαλύτερο σερί της είναι έξι. Η άλλη αλλάζει 35 φορές και δεν ξεπερνά ποτέ το τρία. Ποια είναι επινοημένη;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Η δεύτερη. Μια πραγματική λίστα αλλάζει περίπου 24 ή 25 φορές. Μία με 35 αλλαγές εμφανίζεται περίπου μία φορά στις 500 λίστες, και μία χωρίς σερί μεγαλύτερο από τρία περίπου δύο φορές στις 100.
Κάθε νέο χρώμα είτε επαναλαμβάνει το προηγούμενο είτε αλλάζει, μισά-μισά, οπότε 49 ευκαιρίες αλλαγής δίνουν 24,5 αλλαγές κατά μέσο όρο, με απόκλιση περίπου 3,5. Το τριάντα πέντε είναι τρία τέτοια βήματα πάνω από τον μέσο όρο· ένας αμερόληπτος τροχός δίνει τόσες αλλαγές περίπου μία φορά στις 500 λίστες.
Τα σερί λένε την ίδια ιστορία. Μια πραγματική λίστα 50 χρωμάτων έχει σερί τεσσάρων ή περισσότερων περίπου στο 98% των περιπτώσεων, και το μεγαλύτερο σερί της είναι συνήθως πέντε ή έξι.
Οι άνθρωποι που καλούνται να επινοήσουν μια τυχαία λίστα αλλάζουν υπερβολικά συχνά, επειδή ένα σερί τεσσάρων ή πέντε τους μοιάζει με μοτίβο. Ο Τέιλορ (Taylor, 2021) δείχνει το ίδιο σημάδι σε λίστες ρίψεων νομίσματος που επινόησαν φοιτητές: η πραγματική τυχαιότητα έχει περισσότερα σερί από όσα περιμένουν οι άνθρωποι.
Ένα βιβλίο με ιστορίες από καζίνο μιλά για έναν παίκτη του οποίου ο αριθμός βγήκε πέντε φορές στη σειρά και το αποκαλεί ρεκόρ. Πόσο σπάνιο είναι αυτό σε ευρωπαϊκό τροχό; Και πόσο συχνά θα έπρεπε να συμβαίνει κάπου σε ένα καζίνο με 20 τραπέζια, όπου το καθένα κάνει 40 περιστροφές την ώρα, μέρα και νύχτα;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Ένας συγκεκριμένος αριθμός πέντε φορές στη σειρά: 1 στα 69 εκατομμύρια. Οποιοσδήποτε αριθμός που βγαίνει άλλες τέσσερις φορές μετά την πρώτη του εμφάνιση: 1 στα 1,87 εκατομμύρια. Αυτό το καζίνο κάνει περίπου 7 εκατομμύρια περιστροφές τον χρόνο, οπότε θα έπρεπε να βλέπει σερί πέντε τρεις ή τέσσερις φορές τον χρόνο.
Ένας συγκεκριμένος αριθμός βγαίνει με πιθανότητα 1/37 σε κάθε περιστροφή, άρα πέντε στη σειρά έχουν πιθανότητα (1/37)⁵ = 1 στα 69.343.957. Κανείς όμως δεν ορίζει τον αριθμό από πριν. Ό,τι κι αν βγει πρώτο, οι επόμενες τέσσερις περιστροφές πρέπει να το επαναλάβουν: (1/37)⁴ = 1 στα 1.874.161.
20 τραπέζια × 40 περιστροφές × 24 ώρες × 365 μέρες = 7.008.000 περιστροφές τον χρόνο. Κάθε περιστροφή μπορεί να ξεκινήσει ένα σερί, οπότε το καζίνο αναμένει 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 σερί πέντε τον χρόνο.
Επίσημο ρεκόρ αυτού του είδους δεν υπάρχει, ούτε χρειάζεται: ένα σπάνιο γεγονός σε ένα τραπέζι είναι κάτι συνηθισμένο σε ολόκληρο το καζίνο, και οι ιστορίες λέγονται για το τραπέζι όπου έτυχε. Η ιστορία, στον Γκόλντμαν (Goldman, 2007), διαδραματίζεται σε τροχό με διπλό μηδέν, όπου τα νούμερα είναι 1 στα 79 εκατομμύρια και 1 στα 2,09 εκατομμύρια.
Κωμικό διάλειμμα
Τα μεγάλα σερί είναι ο τρόπος που μοιάζει το τυχαίο.
Πηγές
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.