Πρόβλημα: ο τροχός των γενεθλίων
Πόσες περιστροφές μέχρι να επαναληφθεί κάποιος αριθμός; Πολύ λιγότερες από όσες μαντεύουν οι περισσότεροι.
Το πρόβλημα των γενεθλίων σε τροχό με 37 θήκεςεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα →: μετά από μόλις 8 περιστροφές είναι πιθανότερο παρά απίθανο ότι κάποιος αριθμός έχει ήδη εμφανιστεί δύο φορές. Οι παίκτες διαβάζουν τις επαναλήψεις ως μοτίβα· είναι η αναμενόμενη συμπεριφορά ενός αμερόληπτου τροχού.
Το πρόβλημα
Περιστρέψτε έναν αμερόληπτο ευρωπαϊκό τροχό. Πόσες περιστροφές χρειάζονται ώστε η πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → να έχουν δείξει τον ίδιο αριθμό τουλάχιστον δύο περιστροφές να ξεπεράσει το ένα δεύτερο; Οι περισσότεροι παίκτες μαντεύουν κάπου γύρω στις 18 ή 19, το μισό του 37. Η απάντηση είναι 8.
Η λύση
Υπολογίστε την πιθανότητα να μην υπάρχει επανάληψη και αφαιρέστε την από το ένα. Μετά από k περιστροφές, p(όλοι διαφορετικοί) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Για k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, άρα p(κάποια επανάληψη) ≈ 0,56. Για k = 14 είναι 0,93· για k = 20 είναι 0,996. Η διαίσθηση αποτυγχάνει επειδή ο αριθμός των ζευγών περιστροφών αυξάνεται σαν k², και οποιοδήποτε ζεύγος μπορεί να ταιριάξει.
Γιατί έχει σημασία στο τραπέζι
Ένας πίνακας αποτελεσμάτων με τους τελευταίους 20 αριθμούς θα δείχνει σχεδόν πάντα τουλάχιστον μία επανάληψη, συχνά δύο ή τρεις. Οι παίκτες βλέπουν «το 17 βγήκε δύο φορές σε δέκα περιστροφές» και συμπεραίνουν ότι το 17 είναι ζεστό· η αριθμητική των γενεθλίων λέει ότι μια επανάληψη μέσα σε δέκα περιστροφές συμβαίνει στο 74% των περιπτώσεων και ο αριθμός που επαναλαμβάνεται είναι τυχαίος. Το μοτίβο είναι αληθινό· το νόημα όχι.
Το πρόβλημα που ακολουθεί
Πόσες περιστροφές μέχρι να εμφανιστεί δύο φορές ένας συγκεκριμένος αριθμός, ας πούμε το 17; Αυτό είναι διαφορετικό ερώτημα με πολύ μεγαλύτερη απάντηση: η αναμενόμενη αναμονή είναι 74 περιστροφές, και η πιθανότητα δύο 17 μέσα σε 20 περιστροφές είναι περίπου 10%. Η διαφορά ανάμεσα στο «κάποιος αριθμός επαναλαμβάνεται» (8 περιστροφές) και στο «αυτός ο αριθμός επαναλαμβάνεται» (74 περιστροφές) είναι ολόκληρη η διαφορά ανάμεσα σε ένα μοτίβο που προσέχετε εκ των υστέρων και σε μια πρόβλεψη που κάνετε εκ των προτέρων.
Δοκιμάστε το
Τρέξτε το Δοκιμαστικό παιχνίδι για δέκα περιστροφές και κοιτάξτε το ιστορικό. Συνήθως θα υπάρχει μια επανάληψη. Τρέξτε το ξανά. Ο αριθμός που επαναλαμβάνεται θα είναι διαφορετικός. Κάντε το δέκα φορές και έχετε δει το πρόβλημα των γενεθλίωνμαθηματικάΠρόβλημα των γενεθλίωνΠόσοι άνθρωποι χρειάζονται ώστε δύο από αυτούς να έχουν πιθανότατα κοινά γενέθλια, ή πόσες περιστροφές χρειάζονται ώστε ένας αριθμός να έχει πιθανότατα επαναληφθεί. Σε τροχό 37 θηκών, 8 περιστροφές αρκούν για να γέρνει η πιθανότητα υπέρ της επανάληψης.Όλο το λήμμα →· κάντε το χίλιες (οι προσομοιωτές μπορούν) και το έχετε μετρήσει.
Τύπος
Ερωτήσεις
Ακριβώς, με 37 θήκες αντί για 365 ημέρες. 23 άτομα δίνουν 50% για γενέθλια· 8 περιστροφές δίνουν 56% για τον τροχό.
50% μετά από περίπου 19 περιστροφές. Και πάλι ρουτίνα.
Όχι. Χιλιάδες περιστροφές από έναν τροχό θα την υποδήλωναν· μια επανάληψη ποτέ.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Ένας πίνακας αποτελεσμάτων δίπλα σε αμερικανικό τροχό δείχνει τις τελευταίες 16 περιστροφές. Πόσο πιθανό είναι να μην εμφανίζεται κανένας αριθμός δύο φορές;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Περίπου 2,5%: περίπου 39 πίνακες στους 40 δείχνουν τουλάχιστον μία επανάληψη.
Πηγαίνετε περιστροφή προς περιστροφή. Η πρώτη μπορεί να είναι οτιδήποτε. Η δεύτερη πρέπει να την αποφύγει: 37 περιπτώσεις στις 38. Η τρίτη πρέπει να αποφύγει και τις δύο: 36 στις 38. Η δέκατη έκτη πρέπει να αποφύγει δεκαπέντε αριθμούς: 23 στις 38.
Πολλαπλασιάστε: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Ο πίνακας χωρίς επανάληψη είναι ο σπάνιος. Ένας πίνακας με επανάληψη δεν λέει τίποτα για τον τροχό.
Σε δέκα περιστροφές ευρωπαϊκού τροχού, ποια είναι η πιθανότητα το 17 να βγει ακριβώς πέντε φορές; Να βγει κάποιος αριθμός, οποιοσδήποτε, πέντε ή περισσότερες φορές; Και να βγει κάποιος αριθμός τουλάχιστον τρεις φορές σε τέσσερις περιστροφές;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Το 17 ακριβώς πέντε φορές: 1 στα 315.576. Κάποιος αριθμός πέντε ή περισσότερες φορές: περίπου 1 στα 8.333. Κάποιος αριθμός τρεις ή περισσότερες φορές σε τέσσερις περιστροφές: 1 στα 349.
Το 17 πέντε φορές: διαλέγετε ποιες πέντε από τις δέκα περιστροφές, 252 τρόποι, ο καθένας με πιθανότητα (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Μαζί, 1 στα 315.576.
Κάποιος αριθμός: καθένας από τους 37 αριθμούς έχει πιθανότητα 1 στα 308.325 για πέντε ή περισσότερες εμφανίσεις, που δίνει 37 στα 308.325, ή 1 στα 8.333. Η σπάνια περίπτωση δύο αριθμών με πέντε εμφανίσεις ο καθένας μετριέται δύο φορές, αλλά αν την αφαιρέσετε δεν αλλάζει τίποτα σε αυτή την ακρίβεια.
Τρεις φορές σε τέσσερις περιστροφές: για έναν αριθμό, 4 × 36 + 1 = 145 από τα 37⁴ δυνατά αποτελέσματα· για οποιονδήποτε από τους 37 αριθμούς, 145/37³ = 1 στα 349.
Το Wizard of Odds απάντησε στις εκδοχές αυτών των ερωτήσεων με διπλό μηδέντροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα →· τα δικά μας νούμερα για εκείνον τον τροχό είναι 1 στα 359.275, 1 στα 9.243 και 1 στα 368. Η απόσταση ανάμεσα στο «17» και στο «κάποιος αριθμός» είναι ξανά το πρόβλημα των γενεθλίωνμαθηματικάΠρόβλημα των γενεθλίωνΠόσοι άνθρωποι χρειάζονται ώστε δύο από αυτούς να έχουν πιθανότατα κοινά γενέθλια, ή πόσες περιστροφές χρειάζονται ώστε ένας αριθμός να έχει πιθανότατα επαναληφθεί. Σε τροχό 37 θηκών, 8 περιστροφές αρκούν για να γέρνει η πιθανότητα υπέρ της επανάληψης.Όλο το λήμμα →: υπάρχουν 37 τρόποι να εκπλαγείτε.
Κωμικό διάλειμμα
Κάτι επαναλαμβάνεται νωρίς. Αυτό το κάτι είναι τυχαίο.
Πηγές
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.