Το κριτήριο Kelly και η ρουλέτα

Το κριτήριο

Ο Τζον Κέλι (John Kelly, 1956) ρώτησε πώς πρέπει ένας παίκτης με γνωστό πλεονέκτημα να ορίζει τα πονταρίσματα ώστε να μεγιστοποιεί τη μακροπρόθεσμη αύξηση του κεφαλαίουχρήματαΚεφάλαιοΤο συνολικό ποσό που έχει διατεθεί για το παιχνίδι (bankroll). Διαχείριση κεφαλαίου είναι η απόφαση για το πόσο από αυτό θα ρισκάρετε ανά στοίχημα και ανά συνεδρία.Όλο το λήμμα → (bankroll). Η απάντηση, για ένα στοίχημα που πληρώνει b προς 1 με πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → νίκης p και πιθανότητα απώλειας q = 1 − p, είναι να ποντάρετε το κλάσμα f* = (bp − q) / b του κεφαλαίου. Θετικό f* σημαίνει να ποντάρετε αυτό το κλάσμα· μηδέν ή αρνητικό σημαίνει να μην ποντάρετε. Ο Κέλι δούλευε στα Bell Labs, και η εργασία του, «A new interpretation of information rate», τοποθέτησε το πρόβλημα στη θεωρία της πληροφορίας του Κλοντ Σάνον (Claude Shannon): ένας παίκτης που παίρνει πληροφορίες μέσα από μια γραμμή με θόρυβο, με δίκαιη αναλογία πληρωμής, μπορεί να αυξάνει το κεφάλαιο το πολύ με τον ρυθμό με τον οποίο η γραμμή μεταφέρει πληροφορία. Το 1961 ο Λίο Μπράιμαν (Leo Breiman) απέδειξε ότι το ποντάρισμα Kelly, μακροπρόθεσμα, καταλήγει μπροστά από κάθε ουσιωδώς διαφορετική στρατηγική και φτάνει έναν δεδομένο στόχο περίπου στον συντομότερο δυνατό χρόνο.

Εφαρμογή στη ρουλέτα

Για το κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37· f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Για ένα straight upστοίχημαStraight upΈνας μόνο αριθμός (πλεν), πληρώνει 35:1.Όλο το λήμμα →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37· f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Κάθε βασικό στοίχημα δίνει αρνητικό κλάσμα Kelly, επειδή κάθε στοίχημα έχει αρνητικό πλεονέκτημα, και το ποντάρισμα που μεγιστοποιεί την αύξηση είναι μηδέν. Το Kelly είναι ένας τυπικός τρόπος να πείτε αυτό που λέει η σελίδα για το πλεονέκτημα του καζίνο: δεν υπάρχει μέγεθος με το οποίο ένα στοίχημα αρνητικής αναμενόμενης τιμής αυξάνει το κεφάλαιο.

Πού εφαρμόστηκε το Kelly

Οι παίκτες που εκμεταλλεύονταν μεροληψία είχαν πλεονέκτημα και πρόβλημα μεγέθους. Ο Τζάγκερ (Jagger), οι Γκαρσία-Πελάγιο (García-Pelayo) και οι Ευδαίμονες (Eudaemons) έπρεπε όλοι να αποφασίσουν πόσο να ποντάρουν στο μετρημένο πλεονέκτημά τους, και το υπερβολικά μικρό ποντάρισμα σπαταλά το πλεονέκτημα ενώ το υπερβολικά μεγάλο ρισκάρει τη χρεοκοπία πριν φανεί το πλεονέκτημα. Για μια θήκηεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα → που εμφανίζεται 1 στα 30, το Kelly λέει 0,57% του κεφαλαίου ανά περιστροφή σε αυτόν τον αριθμό: με $10.000, περίπου $57 ανά περιστροφή, για τυπική αύξηση περίπου 0,054% ανά περιστροφή, ή ×1,7 σε 1.000 περιστροφές. Το μέσο κέρδος είναι το διπλάσιο, 0,11% ανά περιστροφή, αλλά το Kelly στοχεύει στο τυπικό κεφάλαιο, όχι στο μέσο, που το φουσκώνουν λίγα τυχερά σερί. Το μισό Kelly είναι η συνηθισμένη πρακτική επιλογή, επειδή η εκτίμηση του πλεονεκτήματος είναι αβέβαιη.

Διάσημοι παίκτες ρουλέταςΟι Eudaemons

Τυπικό αποτέλεσμα και μέσος όρος

Η απόσταση ανάμεσα στο τυπικό κεφάλαιο και στο μέσο κεφάλαιο είναι μεγάλη. Πάρτε μια θήκη που έρχεται 1 φορά στις 25, δηλαδή πλεονέκτημα 44%, το ποσοστό που δίνει ο Θορπ (Thorp) για τη συσκευή του. Το Kelly ποντάρει σε αυτήν 1,26% του κεφαλαίου. Μετά από 1.000 περιστροφές το τυπικό κεφάλαιο έχει μεγαλώσει περίπου 11,5 φορές, ενώ το μέσο, που το ανεβάζουν λίγες πολύ τυχερές πορείες, έχει μεγαλώσει περίπου 249 φορές. Αν ποντάρετε περισσότερο από όσο λέει το Kelly, ο μέσος όρος ανεβαίνει και το τυπικό αποτέλεσμα πέφτει: με το διπλάσιο ποντάρισμα του Kelly το τυπικό κεφάλαιο απλώς διπλασιάζεται, και με δυόμισι φορές το ποντάρισμα του Kelly συρρικνώνεται, παρόλο που κάθε στοίχημα έχει ακόμη πλεονέκτημα 44%. Αν ποντάρετε λιγότερο, χάνετε λίγα: το μισό ποντάρισμα κρατά περίπου τα τρία τέταρτα της αύξησης.

Όταν το πλεονέκτημα είναι εκτίμηση

Ο Κέλι προϋποθέτει ότι το πλεονέκτημα είναι γνωστό. Στο τραπέζι εκτιμάται, και η εκτίμηση είναι συνήθως υπερβολικά υψηλή. Το παράδειγμα του Έπσταϊν (Epstein), βασισμένο στο 44% του Θορπ, είναι ένας αριθμός που βγήκε 49 φορές σε 1.225 περιστροφές ενός τροχού με διπλό μηδέντροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα →: 1 φορά στις 25, πλεονέκτημα 44%, ποντάρισμα Kelly 1,26%. Όμως ένας αμερόληπτος τροχός με διπλό μηδέν έχει 38 αριθμούς, και ο πιο συχνός από αυτούς φτάνει τις 49 ή περισσότερες εμφανίσεις σε 1.225 περιστροφές περίπου μία φορά στις εννέα. Ο πιο συχνός αριθμός σε κάθε καταγραφή είναι επίσης αυτός που έχει βοηθήσει περισσότερο η τύχη, οπότε ακόμη και μια πραγματικά μεροληπτική θήκη φαίνεται στην καταγραφή καλύτερη από ό,τι είναι: η κατάρα του νικητή. Αν αυτή η θήκη είναι στην πραγματικότητα αμερόληπτη, το ποντάρισμα Kelly είναι απλώς ένα στοίχημα που χάνει κατά μέσο όρο 5,26%. Οι συνήθεις απαντήσεις είναι να ποντάρετε ένα κλάσμα του Kelly και να συνεχίζετε να μετράτε μέχρι το πλεονέκτημα να αντέξει και σε μια νέα καταγραφή (δείτε Πώς εντοπίζεται η μεροληψία τροχού).

Άνθρωποι με πλεονέκτημα

Το να γνωρίζετε το πλεονέκτημα δεν είναι το ίδιο με το να το αξιοποιείτε σωστά. Οι Χαγκάνι (Haghani) και Ντιούι (Dewey) το 2016 έδωσαν σε 61 άτομα από $25 για να ποντάρουν επί μισή ώρα σε ένα νόμισμα που, όπως τους είπαν, έφερνε κορώνα στο 60% των ρίψεων, με τα κέρδη πλαφονεμένα στα $250 (οι παίκτες μάθαιναν για το πλαφόν μόνο όταν το έφταναν). Το Kelly λέει να ποντάρετε κάθε φορά το 20% του κεφαλαίου στην κορώνα, και οι συγγραφείς εκτιμούν ότι σταθερά πονταρίσματα 10–20% θα έφταναν το πλαφόν περίπου στο 95% των περιπτώσεων. Μόνο το 21% των παικτών τα κατάφερε. Το 28% χρεοκόπησε, 18 από τους 61 πόνταραν τα πάντα σε μία μόνο ρίψη, περίπου το ένα τρίτο τελείωσε κάτω από τα $25 με τα οποία ξεκίνησε, και η μέση πληρωμήχρήματαΠληρωμήΑυτό που αποδίδει ένα κερδισμένο στοίχημα, διατυπωμένο ως «X προς 1» επιπλέον του πονταρίσματος που επιστρέφεται.Όλο το λήμμα → ήταν $91. Μόνο πέντε από τους 61 είχαν ακούσει για το κριτήριο Kelly. Με πλεονέκτημα, το μέγεθος των πονταρισμάτων κρίνει αν θα το κρατήσετε· χωρίς πλεονέκτημα, όπως σε έναν δίκαιο τροχό, κανένα μέγεθος δεν βοηθά.

Τι να χρησιμοποιήσετε αντί γι’ αυτό

Χωρίς πλεονέκτημα, το μέγεθος του πονταρίσματος είναι ζήτημα προϋπολογισμού, όχι ανάπτυξης: ποντάρισμα = όσα είστε διατεθειμένοι να ξοδέψετε ανά περιστροφή, που προκύπτουν από τον ωριαίο προϋπολογισμό και τον ρυθμό του τραπεζιού (σελίδα διαχείρισης κεφαλαίου). Η συνεισφορά του Kelly στον συνηθισμένο παίκτη είναι η σαφήνεια της απάντησής του: μηδέν. Ό,τι ποντάρετε πάνω από το μηδέν είναι η τιμή του παιχνιδιού, που επιλέγετε εσείς και δεν βελτιστοποιείται από κανέναν τύπο.

Μια σημείωση για το κλασματικό Kelly και τη «διαχείριση χρημάτων»

Τα συστήματα που πωλούνται ως «Kelly για ρουλέτα» και προτείνουν σταθερό ποσοστό του κεφαλαίου ανά στοίχημα είναι σταθερό ποντάρισμαστρατηγικήΣταθερό ποντάρισμαΤο ποντάρισμα του ίδιου ποσού σε κάθε περιστροφή. Η βάση με την οποία συγκρίνεται κάθε προοδευτικό σύστημα.Όλο το λήμμα → με ποντάρισμα που συρρικνώνεται. Χάνουν 2,70% του τζίρουχρήματαΤζίροςΤο συνολικό ποσό που ποντάρεται σε μια συνεδρία ή μια περίοδο, μαζί με τα κέρδη που ποντάρονται ξανά. Αγγλικά: turnover, επίσης handle, action.Όλο το λήμμα → και, επειδή το ποντάρισμα συρρικνώνεται καθώς χάνετε, κάνουν τη χρεοκοπία αργή, όχι απίθανη. Είναι εύλογος τρόπος να κρατήσετε έναν προϋπολογισμό· δεν είναι Kelly, που θα έλεγε να σταματήσετε.

Σταθερό ποντάρισμα

Τύπος

Ερωτήσεις