Τυπική απόκλιση
Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσηςμαθηματικάΔιακύμανσηΜέτρο του πόσο πλατιά απλώνονται τα αποτελέσματα γύρω από την αναμενόμενη τιμή. Υψηλή για το straight up, χαμηλή για τα στοιχήματα ίσων χρημάτων.Όλο το λήμμα →: η τυπική απόσταση ανάμεσα σε ένα αποτέλεσμα και την προσδοκία του.
Ανά $1 που ποντάρεται, το σ είναι 5,84 για ένα straight up και 1,00 για το κόκκινο. Πολλαπλασιάστε με το ποντάρισμα και με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των περιστροφών για μια συνεδρία.
Εμπειρικός κανόνας
Περίπου δύο τρίτα των συνεδριών καταλήγουν εντός ενός σ από την προσδοκία και το 95% εντός δύο. Για 100 περιστροφές στο κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → με $10 (αναμενόμενο −$27, σ = $100) οι περισσότερες συνεδρίες πέφτουν ανάμεσα σε −$127 και +$73, και σχεδόν όλες ανάμεσα σε −$227 και +$173. Ένα αποτέλεσμα εκτός αυτού του εύρους δεν αποδεικνύει τίποτα, εκτός από το ότι μία συνεδρία στις είκοσι το κάνει.
Γιατί √N
Η αναμενόμενη απώλειαμαθηματικάΑναμενόμενη απώλειαΗ αναμενόμενη τιμή επί το συνολικό ποσό που ποντάρεται· το μέσο ποσό που χάνεται σε μια συνεδρία ή σε μια περίοδο.Όλο το λήμμα → μεγαλώνει ανάλογα με το N· το εύρος μεγαλώνει ανάλογα με το √N. Για μικρό N κυριαρχεί το εύρος και οι συνεδρίες είναι ρίψεις νομίσματος με ελαφριά κλίση. Για μεγάλο N η απώλεια ξεπερνά το εύρος. Το σημείο διέλευσης, όπου η αναμενόμενη απώλεια ισούται με μία τυπική απόκλισημαθηματικάΤυπική απόκλισηΗ τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης· η τυπική απόσταση ενός αποτελέσματος από την αναμενόμενη τιμή.Όλο το λήμμα →, είναι στο N = (σ/πλεονέκτημα)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 περιστροφές για ίσα χρήματα και (5,84/0,027)² ≈ 46.800 για τα straight upστοίχημαStraight upΈνας μόνο αριθμός (πλεν), πληρώνει 35:1.Όλο το λήμμα →. Κάτω από αυτούς τους αριθμούς αποφασίζει η τύχη· πάνω από αυτούς, το πλεονέκτημα.
Χρήση
Για να κρίνετε αν μια συνεδρία ήταν ασυνήθιστη, υπολογίστε (αποτέλεσμα − EV)/σ. Ένας παίκτης του κόκκινου με $10 που τελειώνει 100 περιστροφές στο +$150 βρίσκεται στο (150 + 27)/100 = 1,77σ, αποτέλεσμα ένα στα 25: τυχερός, όχι αξιοσημείωτος. Ένας παίκτης straight up με το ίδιο +$150 βρίσκεται στο 0,3σ: μια συνηθισμένη βραδιά. Το ίδιο αποτέλεσμα σε δολάρια σημαίνει διαφορετικά πράγματα σε διαφορετικά στοιχήματα.
Τυπικό σφάλμα μιας αναλογίας
Η ίδια αριθμητική σας λέει πόσες περιστροφές χρειάζονται για να δείτε το πλεονέκτημα στα δεδομένα. Το τυπικό σφάλμα μιας παρατηρούμενης αναλογίας νικών είναι √(p(1 − p)/N). Για το κόκκινο με N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Η διαφορά ανάμεσα σε ένα δίκαιο νόμισμα και το κόκκινο είναι 1,35%, άρα μετά από 1.000 περιστροφές ακόμη δεν μπορείτε να τα ξεχωρίσετε με βεβαιότητα. Μετά από 10.000 το τυπικό σφάλμα είναι 0,5% και μπορείτε. Γι’ αυτό και η ανίχνευση μεροληψίας τροχού χρειάζεται τόσες πολλές περιστροφές.
Μια προειδοποίηση για την ασυμμετρία
Τα αποτελέσματα straight up απέχουν πολύ από την κανονική κατανομή σε μια σύντομη συνεδρία: οι περισσότερες συνεδρίες είναι μια σταθερή πτώση −$10 ανά περιστροφή με περιστασιακά άλματα +$350. Ο κανόνας ±1σ περιγράφει σωστά το εύρος αλλά κακώς το σχήμα, μέχρι το N να φτάσει τις εκατοντάδες. Για στοιχήματα ίσων χρημάτωνστοίχημαΣτοίχημα ίσων χρημάτωνΚόκκινο/μαύρο, μονά/ζυγά, μεγάλα/μικρά. 18 αριθμοί, πληρώνει 1:1.Όλο το λήμμα → η κανονική προσέγγιση είναι καλή από περίπου 30 περιστροφές.
Τύπος
Ερωτήσεις
Αποδεικνύει ότι παίξατε περίπου 40 συνεδρίες, ή ότι ήσασταν στην τυχερή μία στις σαράντα. Επαναλάβετέ το.
Κυμαίνεται όλο και λιγότερο: το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου είναι σ/√N. Στο N = 10.000 είναι 1% του πονταρίσματος.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Σε 100 περιστροφές ευρωπαϊκού τροχού, μία μονάδαχρήματαΜονάδαΤο βασικό ποντάρισμα με το οποίο δουλεύει ένα σύστημα ή ένας παίκτης. Τα προοδευτικά συστήματα περιγράφονται σε μονάδες, ώστε να ισχύουν σε οποιοδήποτε τραπέζι.Όλο το λήμμα → στο κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → βγαίνει κερδισμένη με τουλάχιστον 51 κέρδη, και μία μονάδα σε straight upστοίχημαStraight upΈνας μόνο αριθμός (πλεν), πληρώνει 35:1.Όλο το λήμμα → βγαίνει κερδισμένη αν ο αριθμός της βγει τουλάχιστον 3 φορές. Εκτιμήστε και τις δύο πιθανότητες με την καμπύλη καμπάνας και μετά συγκρίνετέ τις με τις ακριβείς απαντήσεις.
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Κόκκινο: η καμπύλη καμπάνας δίνει 35,6% και η ακριβής απάντηση είναι 35,5%. Straight up: η καμπύλη καμπάνας δίνει 55,0% και η ακριβής απάντηση είναι 50,9%. Η συντόμευση πετυχαίνει για το κόκκινο και αστοχεί για τον μεμονωμένο αριθμό.
Κόκκινο: τα κέρδη είναι κατά μέσο όρο 100 × 18/37 = 48,6, με εύρος (τυπική απόκλιση) √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Κερδισμένος σημαίνει 51 ή περισσότερα· το ενδιάμεσο σημείο, 50,5, βρίσκεται 0,37 τυπικές αποκλίσεις πάνω από τον μέσο όρο, και η καμπύλη καμπάνας δίνει 35,6% πάνω από αυτό. Αν προσθέσετε τις ακριβείς πιθανότητες για 51, 52 … 100 κέρδη, βγαίνει 35,5%.
Straight up: οι εμφανίσεις είναι κατά μέσο όρο 100/37 = 2,70, με εύρος √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Τρεις ή περισσότερες εμφανίσεις σημαίνει πάνω από 2,5, δηλαδή 0,12 τυπικές αποκλίσεις κάτω από τον μέσο όρο: 55,0% με την καμπύλη καμπάνας. Ακριβώς, είναι 1 μείον τις πιθανότητες για 0, 1 και 2 εμφανίσεις, 6,5% + 17,9% + 24,7%, που αφήνει 50,9%.
Η καμπύλη καμπάνας χρειάζεται αρκετά αποτελέσματα και στις δύο πλευρές του μέσου όρου. Το κόκκινο τα έχει μετά από 100 περιστροφές· ένας αριθμός που βγαίνει κατά μέσο όρο λιγότερες από τρεις φορές δεν τα έχει. Η καμπύλη δίνει μάλιστα 8,7% στο «καμία εμφάνιση», ενώ η πραγματική πιθανότητα είναι 6,5%. Ο Τέιλορ (Taylor, 2021) βάζει τη διωνυμική κατανομή και την καμπύλη καμπάνας δίπλα δίπλα με τον ίδιο τρόπο.
Κωμικό διάλειμμα
Μία συνεδρία στις είκοσι είναι εκτός των δύο σίγμα. Κάποιος είναι πάντα στην ουρά.
Πηγές
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.