Πλάνη του τζογαδόρου
Η πεποίθηση ότι ένα αποτέλεσμα «χρωστάει» να έρθει, επειδή έχει καιρό να εμφανιστεί.
Μετά από δέκα κόκκινα η πιθανότητα του μαύρου εξακολουθεί να είναι 18/37. Ο τροχός δεν κρατά αρχείο και δεν χρωστάει τίποτα.
Η πλάνη
Αν το κόκκινοστοίχημαΚόκκινοΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 κόκκινους αριθμούς. Γαλλικά: rouge.Όλο το λήμμα → έχει έρθει δέκα φορές, πολλοί παίκτες νιώθουν ότι το μαύροστοίχημαΜαύροΣτοίχημα ίσων χρημάτων στους 18 μαύρους αριθμούς. Γαλλικά: noir.Όλο το λήμμα → «χρωστάει» και ποντάρουν ανάλογα. Άλλοι νιώθουν ότι το κόκκινο είναι «ζεστό» και ποντάρουν σε αυτό. Και οι δύο συλλογίζονται από μια ακολουθία που έχει ήδη τελειώσει προς μια περιστροφή που δεν έχει γίνει ακόμη. Η μπίλιαεξοπλισμόςΜπίλιαΗ μικρή σφαίρα που εκτοξεύεται στην τροχιά αντίθετα από τον ρότορα. Οι σύγχρονες μπίλιες είναι από ιβορίνη ή τεφλόν, 18–21 χλστ.Όλο το λήμμα → δεν ξέρει ποιες ήταν οι τελευταίες δέκα περιστροφές· οι θήκεςεξοπλισμόςΘήκηΈνα από τα 37 αριθμημένα διαμερίσματα του ρότορα. Επίσης: υποδοχή, κύπελλο.Όλο το λήμμα → έχουν το ίδιο μέγεθος με πριν από μία ώρα· η πιθανότηταμαθηματικάΠιθανότηταΗ πιθανότητα ενός ενδεχομένου, από 0 έως 1 ή από 0% έως 100%. Ένας αριθμός: 1/37 = 2,70%.Όλο το λήμμα → του μαύρου είναι 18/37, όπως πάντα.
Γιατί φαίνεται αληθινή
Μακροπρόθεσμα οι αναλογίες κόκκινου και μαύρου πράγματι συγκλίνουν στο 18/37 η καθεμία. Ο νόμος των μεγάλων αριθμώνμαθηματικάΝόμος των μεγάλων αριθμώνΟ μέσος όρος ανεξάρτητων αποτελεσμάτων συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή καθώς αυξάνεται ο αριθμός των δοκιμών.Όλο το λήμμα → το εγγυάται. Όμως η σύγκλιση γίνεται με αραίωση, όχι με διόρθωση: μετά από 1.000 ακόμη περιστροφές τα δέκα επιπλέον κόκκινα είναι σφάλμα στρογγυλοποίησης στην αναλογία, όχι επειδή το μαύρο έφτασε το κόκκινο, αλλά επειδή το δείγμα μεγάλωσε. Δεν υπάρχει μηχανισμός που να κάνει το μαύρο πιθανότερο, και ο νόμος των μεγάλων αριθμών δεν απαιτεί κανέναν.
Μόντε Κάρλο, 18 αυγούστου 1913
Το μαύρο βγήκε 26 φορές στη σειρά σε ένα τραπέζι του Casino de Monte-Carlo. Από το δέκατο πέμπτο περίπου μαύρο και μετά, οι παίκτες στοιβάζονταν στο κόκκινο, διπλασιάζοντας και ξαναδιπλασιάζοντας, με κάθε περιστροφή «πιο βέβαιη» από την προηγούμενη. Το καζίνο κέρδισε εκατομμύρια φράγκα. Το σερί είχε πιθανότητα 1 στα 137 εκατομμύρια από το πρώτο μαύρο, και η πιθανότητα να συμβεί κάποια στιγμή κάπου στα καζίνο του κόσμου ήταν ουσιαστικά ένα. Γι’ αυτό η πλάνη του τζογαδόρου λέγεται και πλάνη του Μόντε Κάρλο.
Τίποτα το ιδιαίτερο. Συμβαίνει μία φορά στις 44.
Οι παίκτες αρχίζουν να προσέχουν. Το κόκκινο «χρωστάει».
Το τραπέζι είναι γεμάτο. Τα πονταρίσματα στο κόκκινο διπλασιάζονται μετά από κάθε απώλεια.
Χάνονται περιουσίες. Κάθε νέο μαύρο κάνει το κόκκινο να φαίνεται πιο βέβαιο.
Το σερί τελειώνει. Το καζίνο έχει κερδίσει εκατομμύρια φράγκα από ανθρώπους που ποντάριζαν ενάντια σε ένα σερί που δεν μπορούσε να «ξέρει» ότι είναι σερί.
Το ζεστό χέρι
Να ποντάρετε σε ένα χρώμα επειδή κάνει σερί είναι το ίδιο λάθος ανάποδα: περιμένετε το σερί να συνεχιστεί αντί να τελειώσει. Οι ψυχολόγοι το λένε ζεστό χέριμύθοςΖεστό χέριΗ πεποίθηση ότι ένα σερί κερδών, ή ενός αποτελέσματος, κάνει πιο πιθανό το επόμενο. Στον τροχό είναι η πλάνη του τζογαδόρου αντεστραμμένη.Όλο το λήμμα →, από μια μελέτη του 1985 των Τόμας Γκίλοβιτς (Thomas Gilovich), Ρόμπερτ Βαλόνε (Robert Vallone) και Άμος Τβέρσκι (Amos Tversky), που έψαξε για σερί στα σουτ του μπάσκετ και δεν βρήκε τίποτα πέρα από την τύχη. Το 2018 οι Μίλερ (Miller) και Σανχούρχο (Sanjurjo) έδειξαν ότι ο ίδιος ο έλεγχος έγερνε προς μία πλευρά: σε μια σύντομη καταγραφή, το ποσοστό των εύστοχων σουτ αμέσως μετά από εύστοχο βγαίνει κατά μέσο όρο κάτω από το συνολικό ποσοστό του παίκτη, οπότε ένας παίκτης χωρίς καθόλου ζεστό χέρι φαίνεται λίγο κρύος. Με τη διόρθωση, τα ίδια δεδομένα δείχνουν ένα μέτριο ζεστό χέρι. Ένας άνθρωπος μπορεί να πάρει φόρα· ένας τροχός δεν έχει φόρμα. Μερικοί παίκτες κρατούν και τις δύο πεποιθήσεις μαζί: ένα σερί συνεχίζεται μέχρι να γίνει «πολύ μεγάλο» και μετά τελειώνει. Σε έναν αμερόληπτο τροχό κάθε εκδοχή έχει την ίδια αναμενόμενη τιμήμαθηματικάΑναμενόμενη τιμήΤο μέσο αποτέλεσμα ανά στοίχημα μακροπρόθεσμα. −1/37 του πονταρίσματος για κάθε στάνταρ στοίχημα της ευρωπαϊκής ρουλέτας.Όλο το λήμμα → με το να διαλέγετε χρώμα ρίχνοντας νόμισμα: −2,70% του πονταρίσματος.
Σε ένα πραγματικό τραπέζι
Οι Κρόσον (Croson) και Σουντάλι (Sundali) (2005) παρακολούθησαν 18 ώρες βίντεο ασφαλείας από ένα τραπέζι με διπλό μηδέντροχόςΜηδένΗ μοναδική πράσινη θήκη που δεν καλύπτεται από κανένα στοίχημα ίσων χρημάτων, δωδεκάδας ή στήλης· η πηγή του πλεονεκτήματος του καζίνο. Επίσης: ένα μηδέν, 0.Όλο το λήμμα → σε μεγάλο καζίνο του Ρίνο: 139 παίκτες, 24.131 στοιχήματα. Στα στοιχήματα ίσων χρημάτωνστοίχημαΣτοίχημα ίσων χρημάτωνΚόκκινο/μαύρο, μονά/ζυγά, μεγάλα/μικρά. 18 αριθμοί, πληρώνει 1:1.Όλο το λήμμα → οι παίκτες χωρίζονταν περίπου εξίσου ανάμεσα σε όσους ακολουθούσαν τα σύντομα σερί και όσους πήγαιναν κόντρα σε αυτά. Μετά από πέντε ίδια αποτελέσματα στη σειρά έγερναν κόντρα στο σερί, και μετά από έξι ή περισσότερα το 85% των στοιχημάτων τους ήταν στην αντίθετη πλευρά. Οι ίδιοι παίκτες έδειχναν το ζεστό χέρι για τον εαυτό τους: μετά από κέρδος στους αριθμούς κάλυπταν κατά μέσο όρο 13,6 αριθμούς στην επόμενη περιστροφή, έναντι 9,2 μετά από απώλεια. Ο τροχός τους δεν έδειχνε κανένα σημάδι μεροληψίας, οπότε τίποτα από αυτά δεν άλλαζε όσα μπορούσε να περιμένει ο καθένας τους.
Έξω από το καζίνο
Η ίδια έλξη εμφανίζεται εκεί όπου παίρνονται πραγματικές αποφάσεις. Οι Κλότφελτερ (Clotfelter) και Κουκ (Cook) (1993) παρακολούθησαν το καθημερινό λαχείο αριθμών του Μέριλαντ: τα χρήματα που ποντάρονταν σε έναν αριθμό έπεφταν απότομα μόλις κληρωνόταν και χρειάζονταν μήνες για να επανέλθουν, αν και η κλήρωση δεν έχει μνήμη. Οι Τσεν (Chen), Μοσκόβιτς (Moskowitz) και Σου (Shue) (2016) τη βρήκαν σε επαγγελματίες. Οι δικαστές ασύλου στις Ηνωμένες Πολιτείες ήταν έως και 3,3 ποσοστιαίες μονάδες πιθανότερο να απορρίψουν μια υπόθεση αν είχαν δεχτεί την προηγούμενη. Οι διαιτητές του μπέιζμπολ ήταν 1,5 μονάδα λιγότερο πιθανό να δώσουν strike αμέσως μετά από ένα strike, και πάνω από το διπλάσιο στις οριακές ρίψεις. Σε ένα πείραμα πεδίου με υπαλλήλους δανείων που πληρώνονταν σταθερή αμοιβή, έως και το 9% των αποφάσεων αντιστράφηκε με αυτόν τον τρόπο. Οι υποθέσεις έρχονταν με τυχαία σειρά, οπότε η τελευταία απόφαση δεν έλεγε τίποτα για την επόμενη, όπως η τελευταία περιστροφή δεν λέει τίποτα για την επόμενη.
Η αντίστροφη πλάνη του τζογαδόρου
Ο φιλόσοφος Ίαν Χάκινγκ (Ian Hacking, 1987) έδωσε όνομα σε μια τρίτη εκδοχή. Κάποιος μπαίνει σε ένα δωμάτιο, βλέπει δύο ζάρια να φέρνουν εξάρες και συμπεραίνει ότι πρέπει να έχουν ριχτεί ήδη πολλές φορές. Κάθε ρίψη έχει την ίδια πιθανότητα να φέρει εξάρες, είτε είναι η πρώτη της βραδιάς είτε η χιλιοστή, οπότε αυτό που είδε δεν λέει τίποτα για το πόση ώρα κρατάει το παιχνίδι. Στη ρουλέτα είναι ο παίκτης που φτάνει μπροστά σε έναν πίνακα με οκτώ κόκκινα και αποφασίζει ότι ο τροχός πρέπει να γυρίζει ώρες για να τα βγάλει. Η συνηθισμένη πλάνη μεταφέρει το παρελθόν στην επόμενη περιστροφή· αυτή μεταφέρει ένα σπάνιο θέαμα σε ένα παρελθόν που δεν είδε κανείς.
Ένας ψυχολόγος που την πίστεψε
Η πλάνη έχει βρει και λόγιους υπερασπιστές. Ο γερμανός ψυχολόγος Καρλ Μάρμπε (Karl Marbe) εξέτασε τέσσερα μητρώα με 49.152 γεννήσεις το καθένα, βρήκε ότι το μεγαλύτερο σερί αγοριών ή κοριτσιών στη σειρά ήταν 17 και συμπέρανε ότι τα μεγάλα σερί είναι σπανιότερα από όσο επιτρέπει η τύχη, άρα ότι ένα σερί κάνει πιθανότερο το άλλο αποτέλεσμα. Η τύχη από μόνη της λέει το αντίθετο: σε 196.608 γεννήσεις ένα σερί 17 ή περισσότερων εμφανίζεται περίπου τέσσερις φορές στις πέντε. Ο Μάρμπε είχε βρει ακριβώς την εικόνα μιας τυχαίας ακολουθίας. Ο Έπσταϊν (Epstein, 2013) αφηγείται ξανά την περίπτωση· η σελίδα Πιθανότητα των σερί δίνει την εκδοχή της ρουλέτας.
Πού δεν ισχύει η πλάνη
Αν ο τροχός ήταν φυσικά μεροληπτικός, οι προηγούμενες περιστροφές θα έδιναν πληροφορία, επειδή θα αποτελούσαν ένδειξη για τις θήκες και όχι για την τύχη. Αυτό είναι το θέμα του Εργαστηρίου, και απαιτεί χιλιάδες περιστροφές από έναν ταυτοποιημένο τροχό για να πει οτιδήποτε. Για ένα σερί δέκα κόκκινων σε άγνωστο τροχό, η εξήγηση της μεροληψίας είναι πολύ λιγότερο πιθανή από την εξήγηση της τύχης.
Ερωτήσεις
Όχι. Ισχύει για κάθε ανεξάρτητο επαναλαμβανόμενο γεγονός: ζάρια, νομίσματα, αριθμούς λαχείου.
Οι αναλογίες θα πλησιάσουν. Το αποτέλεσμά σας θα είναι και πάλι περίπου −2,70% του ποσού που πονταρίσατε.
Δεν υπάρχει νόμος των μέσων όρων. Υπάρχει νόμος των μεγάλων αριθμών, και λειτουργεί με αραίωση.
Παίζοντας με τα μαθηματικά
Δοκιμάστε πρώτα μόνοι σας. Κάθε λύση είναι διπλωμένη· ανοίξτε την όταν είστε έτοιμοι.
Μετά από 10 ρίψεις ένα νόμισμα έχει φέρει 7 κορόνες και 3 γράμματα. Μετά από 1.000 ρίψεις έχει φέρει 517 κορόνες και 483 γράμματα. Τα γράμματα έπιασαν τις κορόνες;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Όχι. Η διαφορά μεγάλωσε από 4 σε 34. Μόνο ο λόγος πλησίασε το μισό-μισό.
Ο λόγος κορόνων προς γράμματα έπεσε από 7/3, περίπου 2,33, σε 517/483, περίπου 1,07. Αυτός είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμώνμαθηματικάΝόμος των μεγάλων αριθμώνΟ μέσος όρος ανεξάρτητων αποτελεσμάτων συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή καθώς αυξάνεται ο αριθμός των δοκιμών.Όλο το λήμμα → στην πράξη.
Η διαφορά ανάμεσά τους μεγάλωσε, από 4 σε 34. Με ένα αμερόληπτο νόμισμα μια διαφορά γύρω στο 30 μετά από 1.000 ρίψεις είναι συνηθισμένη: η τυπική διαφορά μεγαλώνει περίπου με την τετραγωνική ρίζα του πλήθους των ρίψεων, ενώ ο λόγος σταθεροποιείται προς το 1.
Τίποτα δεν τράβηξε πίσω τα γράμματα. Το αρχικό πλεόνασμα κορόνων αραιώθηκε από τις επόμενες 990 ρίψεις, δεν διορθώθηκε.
Ρίξτε ένα νόμισμα τέσσερις φορές και κοιτάξτε μόνο τις ρίψεις που έρχονται αμέσως μετά από κορόνα. Τι ποσοστό από αυτές είναι κορόνα; Υπολογίστε το για καθεμία από τις 16 δυνατές ακολουθίες και πάρτε τον μέσο όρο των ποσοστών. Είναι 50%;
Εμφάνιση λύσης
Απάντηση Όχι. Είναι 17/42, περίπου 40,5%. Αν το κοιτάξετε έτσι, ένα αμερόληπτο νόμισμα φαίνεται να «κρυώνει» μετά από κορόνα.
Γράψτε τις 16 ακολουθίες (H = κορόνα, T = γράμματα). Δύο από αυτές, οι TTTT και TTTH, δεν έχουν κορόνα στις τρεις πρώτες ρίψεις, άρα τίποτα δεν ακολουθεί κορόνα· μένουν 14.
Σε καθεμία πάρτε τις ρίψεις που ακολουθούν κορόνα και βρείτε τι ποσοστό είναι κορόνα. Η HHHH δίνει 3 στις 3. Η HHHT δίνει 2 στις 3. Η HTHT δίνει 0 στις 2. Περνώντας και τις 14: έξι ακολουθίες δίνουν 0, τέσσερις δίνουν 1/2, μία δίνει 2/3 και τρεις δίνουν 1 (HHHH, THHH και TTHH).
Προσθέστε τα ποσοστά: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Διαιρέστε με το 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Καμία ρίψη δεν ευνοεί τα γράμματα· η καθεμία είναι 50–50. Η κλίση προέρχεται από τον μέσο όρο ακολουθία προς ακολουθία: μια ακολουθία γεμάτη κορόνες έχει πολλές ρίψεις να εξεταστούν αλλά μετράει μία φορά, όσο και μια ακολουθία με μία μόνο. Οι Μίλερ (Miller) και Σανχούρχο (Sanjurjo) (2018) έδειξαν ότι η μελέτη του 1985 για το ζεστό χέρι είχε μετρήσει τους μπασκετμπολίστες της με αυτόν τον τρόπο, οπότε παίκτες που έμοιαζαν να μην κάνουν περισσότερα σερί από όσα φέρνει η τύχη έκαναν στην πραγματικότητα κάπως περισσότερα.
Κωμικό διάλειμμα
Αραίωση, όχι διόρθωση. Ο τροχός δεν χρωστάει τίποτα.
Πηγές
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”